Muss Vater berufsbedingtem Umzug der Mutter mit Kind zustimmen?

Frage steht schon im Titel.
Da die Kindsmutter, alleinerziehend, gemeinsames Sorge- und Aufenthaltsbestimmungsrecht, vor Ort keine Arbeit findet, müsste sie 180 km weit weg ziehen.
Vater stimmt dem nicht zu, hat aber kaum Kontakt zum Kind und will sich auch nicht darum kümmern.
Kindsmutter argumentiert, dass er ja keinen Unterhalt mehr für sie zahlen müsse, wenn sie umzieht. Und wenn er das Kind nicht ziehen lassen will, dann könne er sich ja drum kümmern, aber dazu hat er ja keine Zeit (Mutter kannte die Antwort, hätte das sonst auch nicht angeboten).
Die Anwälte geben auch unterschiedliche Antworten, die Mutter darf umziehen, aber das Kind nicht, aber wie das ist, wenn das Kind (10 Monate) nicht versorgt ist, wenn Vater es nicht will und Mutter es nicht mitnehmen darf, wenn Vater dem nicht zustimmt, dass konnte keiner so recht beantworten.
Vielleicht hat hier ja jemand einen Tipp.