Frage: Trennung während SS und Vaterschaftsanfechtung danach

Hab eine Frage

Ein Mann trennt sich von seiner Freundin, welche SS ist. Diese Dame verlobt sich am Auszugstag noch mit einem anderen Mann und zieht mit dem zusammen, fremdgehen liegt im Raum, aber Mann hatte nie 100% Gewissheit. Kind wurde im Folgejahr geboren. Davor sandte die Exfreundin ihrem Exfreund noch per Handy Bilder vom Ultraschall und dann Bilder der Geburt. Gibt immer wieder vor , er wäre der Vater, im Internet, gibt sie aber ihren neuen Lebensgefährten als den Vater des Kindes an.
Der Mann wünscht Vaterschaftstest zur eigenen Sicherheit, ohne dies will er keine Anerkennung unterschreiben. Kindesmutter lehnt seitdem jeden Kontakt zum Kind für den Mann ab. Der Mann informiert sich beim zuständigen Jugendamt. Die teilten ihm mit, das die Kindesmutter sich darum kümmern muss, und er auch dann erst Post erhalten würde, wenn er als Vater angegeben wird.
Bis heute keine Post. Kind vor 4 Wochen geboren. Kindesmutter Hartz IV Bezieherin- ging ihr immer nur ums Geld. Bis heute keine Post, weder vom Jugendamt noch vom Jobcenter. Dann beleidigende Nachricht an ihn. Hinweis dazu. Kindesmutter des angeblich gemeinsamen Kindes hat bereits 3 weiter Kinder , welche beim Papa der Kindern leben ohne Kontakt zur Mutter, die hat auch kein Sorgerecht zu ihren Kindern.

Jetzt meine Frage: wie lange dauert es im Schnitt, bis Jobcenter und Jugendamt den vermeintlichen Vater anschreiben??? Hätt das nicht schon längst passiert sein können???

Er will nur Klarheit, Sie will den Umgang um jeden Preis verhindern, solange wie er nicht zahlt und Vaterschaft anerkennt, sie will das ganze ohne Test. Wie geht's weiter??? Danke