Da hast du falsch gehört!

Sorry, aber bitte keine Halbwahrheiten verbreiten, die dann nachher jemand anderen, der es vielleicht ungeprüft befolgt, in Teufels Küche bringen kann.

Wie weit man umziehen "darf", hat mit gemessenen Entfernungen in Kilometer eigentlich gar nix zu tun.

Letztendlich sind Fakten zu berücksichtigen wie:

-Wird das Kind aus dem sozialen Umfeld gerissen
-Wird dadurch der Umgang zwischen Kind und dem anderen Elternteil ("Umgangselternteil") erschwert
-MUSS das betreuende Elternteil umziehen, weil z. B. wie hier eben eine Wohnung gekündigt wurde (andere Gründe wären z. B. wenn die bisherige Wohnung nicht mehr bezahlbar ist, oder das betreunde Elternteil in Wohnortnähe keine Arbeit findet - woanderst aber eine Jobgarantie bestünde usw.)

Erst mal MUSS theoretisch bei gemeinsamen Sorgerecht bzw. gemeinsamen ABR IMMER das Einverständnis beider Eltern vorliegen. Es gibt nur eben Gründe, warum das andere Elternteil diese nicht verweigern KANN. So ein Grund ist eben wie hier, dass jemand gar nicht in der bisherigen Wohnung bleiben kann, weil diese gekündigt wurde. Von daher darf der Vater hier selbstverständlich mit den Kindern umziehen. Allerdings sollte er in der Wohnortnähe bleiben, um eben obige Fakten (Soziales Umfeld der Kinder, Umgang darf nicht erschwert werden...) zu berücksichtigen. Dann KANN die Mutter die Zustimmung nicht verweigern. Dass er mit jemanden zusammenzieht ist jedenfalls kein Grund, weshalb sie die Zustimmung verweigern darf.

Ich würde so vorgehen, vorrausgesetzt, alles ist so richtig beschrieben worden (also: Wohnung wurde von Vermieterseite aus gekündigt, neue Wohnung liegt in der Nähe, für die Kinder ändert sich nichts was Schule ect. angeht und auch der Umgang kann genauso stattfinden wie bisher). Der Vater soll aufs Bürgermeisteramt marschieren, sich und die Kinder ummelden. ggf. kurz erwähnen, dass er eben aus der alten Wohnung raus musste. Normalerweise -sofern im Amt klar denkende Menschen arbeiten- sollte das einen Angelegenheit von 5 min sein. Auch den Amtsleuten ist ja klar, dass der Vater nunmal umziehen MUSS und mit wem er da zusammen zieht ist dem Amt auch ziemlich egal.
Dann die Mutter informieren. Sollte sie trotzdem rumbocken, gelassen reagieren und nochmal die Sachlage erklären. Sollte sie weiterhin stressen, an einen Anwalt oder das Jugendamt verweisen.