Fahrradkindersitz: Baby fällt immer nach vorne um

Hallo zusammen,

meine Frage ist vielleicht etwas komisch ;).
Meine Tochter ist jetzt 1 Jahr alt. Ich habe sie schon drei Mal auf dem Rad im Kindersitz mitgenommen. Es ist ein Römer Jockey, älteres Model. Jedesmal, wenn ich ein paar Minuten gefahren bin ist sie sofort eingeschlafen und kippt aber leider immer nach vorne weg. Der Gurt ist fest genug. Beim ersten Mal bin ich so erschrocken, dass ich immer alle paar Minuten abgestiegen bin und sie sanft wach gerüttelt habe weil ich dachte sie wäre tot. Das sah echt so aus, weil ihre Arme auch so dahingen.
Nun meine Frage: Mache ich da irgendwie was falsch? Oder ist sie noch zu jung um im Sitz zu sitzen? Sie kann auf jeden Fall schon lange alleine sitzen und sich auch alleine hinsetzen.
Es macht irgendwie gar keinen Spaß mit dem Rad zu fahren und ich bin immer froh wenn ich am Ziel bin damit ich sie endlich rausnehmen kann.
Ich wäre froh, wenn ihr mir da ein paar Tipps geben könnt, was ich machen kann damit sie nicht vorneüber kippt. Kann es vielleicht auch sein, dass der Helm zu schwer für ihren Kopf ist?

LG, Christina