Aufhebungsvertrag, Frage dazu

vielleicht kann das jemand beantworten:

Langjährige Tätigkeit beim gleichen AG. Vor Abschluss einer Qualifikation Festlegung im neuen Arbeitsvertrag, dass nach Ende der Qualifikation Rufbereitschaften absolviert werden. Keine Angabe dazu, in welchem Ausmaß.

Nun ändert sich für den Mitarbeiter die Kinderbetreuungssituation (schwierig, weil alleinerziehend) und die Betreuung ist nicht mehr in de Ausmaß gegeben wie sie für Teilnahme an den Rufbereitschaften in dem Ausmaß (bzw. überhaupt nicht, das ist noch nicht genau klar) gegeben sein müsste.

Was tun?
Der AG muss doch einem Aufhebungsvertrag nicht zustimmen, oder?
Was dann?
Es gibt KEINE alternative Betreungsmöglichkeit, alle eventuell in Frage kommenden Möglichkeiten wurden ausgeschöpft. Kind mitnehmen geht nicht. Zum Alleinbleiben ist Kind noch zu klein.
Was macht man da, wenn der AG störrisch ist und auf den Vertrag besteht (wegen personeller Not bzw. allgemeiner Störrigkeit)?
Kündigungsfrist ist mehrere Monate, es wäre also nicht mal eben so irgendwie überbrückend zu stemmen.

Und: Wie ist das bei anschließender Arbeitslosigkeit? Was muss man beim Arbeitsamt vorlegen, um keine Sperre zu bekommen?

Danke euch schonmal.