Thema:
Geometrie-Frage 7. Klasse
Hallo! Entweder bin ich gerade zu blond, oder der Lehrer hat einen Fehler gemacht.
Gegeben sind für ein zu konstruierendes Dreieck die Seitenlängen a und c sowie der Winkel Alpha.
Gefordert sind DREI verschiedene Lösungen für jeweils Seite b, Winkel Beta und Gamma.
Das geht doch gar nicht? Wenn ich von einem Dreieck drei Angaben habe, ob nun Winkel oder/und Seitenlängen, ist doch der Rest eindeutig?!
Hilfeeeee, ich zweifel gerade an meinem Mathe-Abitur :-(
Fee
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 14:13
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Ist denn der Winkel Alpha an einer festen Stelle? Oder könnte der überall sein (also zwischen a und b, zwischen b und c und zwischen a und c)? Wenn er überall sein könnte - dann gibt es tatsächlich drei Lösungen.
Ich habe mich auch kürzlich mit Stufenwinkeln, Scheitelwinkeln und ähnlichem Gedöns herumschlagen müssen - und mit Entsetzen festgestellt, daß ich zwar noch jederzeit und aus der Lameng eine Kurve diskutieren könnte, aber bei Geometrie echte Lücken habe. Dabie hatte ich Mathe-Leistungskurs....
Gruß,
Elisabeth.
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 14:19
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Nein, Winkel Alpha ist immer am Punkt A, Beta bei B, Gamma bei C. Das ist so definiert. So wie auch die Seitennamen eindeutig sind, als a gegenüber von A usw.
Ja, sonst gäbe es logischerweise drei Möglichkeiten....
Das wäre jetzt aber eine Erklärung, warum die Arbeit so schlecht ausgefallen war (Schnitt 4,6 oder so war das)
Lg Fee ("nur" mündl. Abi in Mathe *gg*)
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 14:23
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So habe ich das auch mal gelernt, aber bei Fumi waren die Winkelnamen (Bezeichnungen?) kürzlich sehr willkürlich verteilt, deswegen kam mir das in den Sinn....
Allerdings waren das Winkel in einem Parallelogram.
Da man ja heute fest alles liberalisiert, dachte ich, man hätte vielleicht auch die Winkelnamen befreit *lach*.
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 14:39
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Das interessiert mich jetzt auch mal.
Gib doch bitte mal die genauen vorhandenen Daten an.
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 14:36
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Hallo,
gehöre zwar nicht hierher, antworte aber trotzdem mal.
Also drei verschiedene Lösungen kann es eigentlich gar nicht geben.
Lösungsweg: Sinussatz, Kosinussatz
oder:
sin Gamma = (c*sin Alpha)/a
für a größer/gleich c ist Gamma < 90° und eindeutig bestimmt
für a < c sind folgende Fälle möglich:
1. Gamma hat für c*sin Alpha < a zwei Werte (Gamma2 = 180° - Gamma1)
2. Gamma hat genau einen Wert (90°) für c*sin Alpha =a
3. Für c* sin Alpha > a ist eine Dreieckskonstruktion unmöglich:
Gamma = 180°-(Alpha+Betha), b=(a*sin Betha)/sin Alpha, S=0,5*a*c*sin Gamma
Hoffe ich konnte helfen.
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 14:46
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Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Innenwinkel. Liegen drei Angaben über Seiten oder Winkel vor, so können die drei jeweils fehlenden Winkel bzw. Seiten berechnet werden. Je nachdem, welche Kombination von Seiten und Winkeln vorliegt, ist das Ergebnis für die fehlenden Angaben eindeutig. Die Kongruenzsätze liefern die eindeutigen Lösungsfälle und werden symbolisch mit SSS, SSW, SWS, WSW bezeichnet, wobei S für Seiten und W für Winkel stehen.
Der Fall SSW ist allerdings nur dann eindeutig, wenn der Winkel der größeren Seite gegenüber liegt. Wenn der Winkel der kleineren gegebenen Seite gegenüber liegt, kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben.
Siehe auch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzs%C3%A4tze
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 15:07
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Genau das was ich geschrieben habe :-)
3. keine Lösung
2. 1 Lösung
1. 2 Lösungen,
aber drei verschiedene Lösungen sind definitiv nicht möglich.
LG
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 15:19
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"Konstruiere hier auf dem Zettel ein Dreieck mi üblicher Benennung aus:
a= 4cm; c=4,5 cm, Alpha=35°.
Trage die fehlenden Größen ein:
a) b= Alpha= Beta =
b b= Alpha= Beta =
c) b= Alpha= Beta =
Ich meine, schon bei den Antworten steckt ja ein riesiger Fehler drin!
Sohn hat bei Alpha natürlich (!!!) 35° eingetragen, was als falsch gewertet wurde, obwohl die Angabe so in der Aufgabe steht!
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 15:38
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Stimmt, zwei Lösungen! Das eine wäre ein ganz ganz flaches Dreieck mit stumpfen Winkel Gamma; das andere größer mit stumpfen Winkel Beta.
Gut, mal drüber gesprochen zu haben 
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 15:51
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Genau zwei Lösungen:
Kostruktiv so zu lösen:
c Zeichnen, Winkel Alpha einzeichnen und dann mit Zirkel (4 cm) Kreisbogen um Punkt A ziehen, Schnittpunkte mit Winkelgerade (b) ergeben die Lösungen.
Rechnerisch (Werte gerundet):
c*sinAlpha = 2,58 < a (=4 cm)
=> sin Gamma = (c*sin Alpha) / a = 0,645
Gamma1 = 40°
Gamma 2 = 180°-40°= 140°
Betha ergibt sich dann aus 180°-Alpha-Gamma= 105° / 5°
und b dann entsprechend Sinussatz.
Aber eine dritte Lösung gibt es nicht. Und wenn der Lehrer Alpha vorgibt und in der Lösung abverlangt muss er das auch richtig werten!
LG
Mitglied inaktiv - 07.07.2009, 15:59
