Wie stellt man den ersten Kontakt her?

Hallo!

Wies aussieht hat sich mein Sohn (3J) im Kindergarten mit einem Mädchen recht gut angefreundet.
Er möchte sie zu uns einladen und hat sich schon allerhand ausgedacht.
Dummerweise hab ich die Eltern des Mädchens noch nie gesehen. Ich glaube, sie wird früher in den Kindergarten gebracht und später geholt, als mein Kind.
Die Erzieherinnen dürfen natürlich auch keine Daten raus rücken, das frag ich nicht einmal.
Wie macht man das? Ich hab meinem Sohn gesagt, er soll sie mal in sein Freundebuch schreiben lassen, je nachdem, ob sie möchten haben wir dann vielleicht eine Adresse, oder sogar Telefonnummer.
Wäre es dann ok, dort mal anzurufen?

Oder wäre es besser dem Mädchen mal eine Einladung mit zu geben, wo dann meine Nummer dabei steht und dann kann die Mutter mich anrufen, wenn sie will?

Wie habt ihr das gemacht? Wie bahnen sich erste Spielbesuche an in dem Alter? Bin da noch völlig unbedarft.. Wildfremde Leute privat anrufen - eigentlich nicht meine Art.. Bin da ein bisschen zurückhaltend..