Sorry, ich habe mich falsch.ausgedrückt!

Hm, das dürfte eher nicht möglich sein. Das Amt übernimmt Wohnkosten eigentlich nur, solange man auch wirklich in der Wohnung wohnt. Es heißt ja im Gesetz "Bedarfe für die Unterkunft". Da Dein Vater ab dem Umzug die alte Unterkunft (also die Wohnung) nicht mehr benötigt, ist m.E. nach dem Gesetzeswortlaut die Übernahme ausgeschlossen. Er selbst hat ja keinen "Bedarf" mehr für die Wohnung. Außerdem würde sonst das Amt wohl auch zweimal Wohnkosten zahlen - einmal für die von Deinem Vater gar nicht mehr bewohnte Wohnung und einmal für die Wohnkosten im Pflegeheim.

Ich kenne solche Konstellationen zwar nicht für die Grundsicherung, aber aus dem Hartz IV, wenn jemand vor Ablauf der Kündigungsfrist schon in eine neue Wohnung gezogen war (aus welchen Gründen auch immer, weil z.B. der neue Vermieter keine drei Monate warten wollte und die Wohnung sonst anderweitig vermietet hätte). In diesen Fällen wurde die Miete für die alte Wohnung nicht mehr übernommen, sondern ab Umzug nur noch die für die neue Wohnung.