In Elternzeit spontan Teilzeit arbeiten?

Hallo,

in ein paar Monaten werde ich für 2 Monate in Elternzeit gehen und planmäßig nicht arbeiten.
Es könnte aber der Fall sein, dass ich spontan bei einem zweistündigen Kurs als Vertretung einspringe, sollten wir niemand anderen finden bzw. die Vertretung kurzfristg krank sein. Soll heißen, ob ich innerhalb meiner Elternzeit arbeite oder nicht und in welchem Umfang ist zum jetztigen Zeitpunkt nicht absehbar. Mein AG und ich stimmen beide mit dieser Variante überein, wissen jetzt aber nicht, ob das in dieser Form rein rechtlich und versicherungstechnisch möglich ist.
Könnte mich mein AG im Fall der Fälle als Teilzeitarbeiter nachmelden oder nicht?

Würde dabb ein Versicherungsschutz bestehen?

Bisher konnten wir noch keine Antwort auf unsere Problematik finden und wollen da auch nicht leichtsinnig agieren und uns in eine rechtliche Grauzone manövrieren.

Vielen Dank im Voraus