Erbe und Mierecht

Hallo, ich habe eine schwierige Frage, es wird lang.
Meine Schwiegermutter ist Ende Januar verstorben, sie lebte in einer Mietwohnung mit einem Lebensgefährten zusammen. Er steht nicht im Mietvertrag drin. Mein Mann ist alleinige Erbe und würde den Meitvertrag erben. Wir wollen diese Wohnung nicht benutzen, der Lebensgefährte schon. Wir hätten nichts dagegen, mein Mann war bei einem Anwalt, da der Hausverwaltung sich geweigert hat ihn als Mieter zu übernehmen. Wie die Situation gerade ist, weiß ich nicht mal. Von seiten des Lebensgefährten gibt es keine Auskunft. Von anderen haben wir gestern gehört, dass er die Wohnung doch nicht haben will (wahrscheinlich nicht leisten kann). Jetzt könnte mein Mann noch bis zum Montag die Wohnung außerordentlich kündigen. Bis wann muss der Lebensgefährte aus der Wohnung raus? Und was machen wir, wenn er nicht auszieht und die Miete nicht zahlt? Ihn rausklagen? Das dauert ja Ewigkeit und ist nicht billig. Er hat ihr ca. die Hälfte von der Miete überwiesen, jetzt im Februar hat er auch nur die halbe Miete gezahlt. Der Rest ging noch vom Konto der Schwimu weg. Konto löschen geht nicht, da der Erbschein noch nicht da ist.

Zusammenfassend: Wenn wir kündigen, haben wir ein Problem wenn er nicht zahlt und nicht auszieht, wenn die Hausverwaltung kündigt haben wir das gleiche Problem, wenn er nicht auszieht und nicht zahlt. So oder so haben wir die A-Karte mit ihm.

Wenn er doch auszieht, darf er die Wohnungseinrichtung mitnehmen? Er hat da zwar über 10 Jahren gewohnt, aber die Whg. war schon eingerichtet, sie lebte dort ca. 40 Jahren.
Ich muss heute mit ihm Klartext reden, aber schon der Gedanke daran verursacht mir Herzrasen. Kann jemand irgendwelche Tips geben, außer zum Anwalt zu gehen (das ist schon klar). Vielen Dank!