Neue Überprüfung einer alten, angenommen KiWoGe, ohne neue Anhaltspunkte?

Dann wende dich an den Vorgesetzten des Sachbearbeiters. Erläutere ihm die Situation bzw. dein Unverständnis. Im Zweifelsfall offizielle Beschwerde einreichen. Gut wäre auch, wenn du dir einen Anwalt suchst, der dich vorab berät oder entsprechende Schreiben aufsetzt.
Normalerweise geht das JA jedoch nicht hin und versucht einen Vater zu Umgangsrecht zu zwingen. Also entweder hat der Vater da irgendetwas erzählt im Sinne von "ich will ja, aber die die Mutter lässt mich nicht" oder das JA hat aus anderen Gründen den Eindruck, es müsse nochmal prüfen. Insgesamt scheint das Verhalten des JA bzw. des zuständigen Sachbearbeiters aber eben auf Grund deiner Schilderung nicht nachvollziehbar. Daher würde ich mich wanden Vorgesetzten wenden und eine Erklärung verlangen. Gut wäre, du könntest alles nachweisen - also sowohl frühere Aussagen der Familienhilfe das alles iO ist als auch die Nicht-Erreichbarkeit des KV, nicht wahrgenommene Umgangstermine seinerseits etc.