Kennt sich hier jemand mit Arbeitsrecht aus?

Hallo!

Ich habe zur Zeit eine 20 Stunden Stelle. Da man davon als Alleinerziehende kaum leben kann bin ich beim Weiterbewerben. Nun habe ich eine mündliche Zusage für eine 30 Stunden Stelle.
Der neue Arbeitgeber möchte mich zum frühstmöglichen Termin einstellen. Beim alten Arbeitgeber hab ich eine 4wöchige Kündigungsfrist. allerdings hätte ich da auch noch 10 Tage Urlaubsanspruch. Wenn ich also fristgemäß kündige und den Resturlaub zum Schluß hin antrete, dürfte ich in dieser Resturlaubszeit schon beim neuen Arbeitgeber anfangen???

LG Janka