Haben wir dann beide Sorgerecht?

Hallo....
Hab mir mal ein paar Gedanken über das Sorgerecht gemacht. Wie läuft das? Wenn das Kind da ist & er die Vaterschaft anerkennt, hat er dann auch automatisch das Sorgerecht? Ich meine er will das Kind ja nich, also braucht er auch kein Sorgerecht, oder denk ich da jetzt zu engstirnig?
Hab ja noch Zeit mich zu informieren & alles abzuwägen....Sie kommt ja erst im April.....
Liebe Grüße Lis