Bewillingung Schulwechsel ohne meine Unterschrift rechtsgültig?

Ja, sie hätten Deine Unterschrift gebraucht und streng genommen ist die Schulanmeldung schwebend unwirksam. Du könntest also dagegen vorgehen.

ABER: Bist Du Dir sicher, dass das im Sinne des Kindes ist?
Wenn Dein Kind wieder zurück auf die "alte" Schule will: go for it!
Wenn Dein Kind lieber auf der "neuen" Schule bleiben will: akzeptiere es.

So oder so würde ich meinem Ex etwas husten. Rechte und Pflichten gibt es eben auch auf seiner Seite und dazu gehört die Kommunikation mit Dir über alle Entscheidungen außerhalb des alltäglichen und dazu gehört eindeutig eine Schulwechsel.

Ich würde zunächst die neue Schule informieren, dass Zeugnisse auch von Dir gegengezeichnet werden müssen und das Du offizielle Informationen auch erhalten möchtest.
Den Ex würde ich eindringlich auf seine Informations- und Mitwirkungspflicht hinweisen und das ggf. auch über das Jugendamt entsprechend in einer Vereinbarung festschreiben lassen.