Bsp Hessen

Ich antworte dir jetzt mal öffentlich, weil das zumindest in Hessen kein Problem ist.
Wohnsitz ummelden, Kind an neuer Schule anmelden, an alter Schule abmelden, alte Schule schickt Übergangszeugnis an neue Schule, neue Schule schickt alter Schule Bescheinigung, dass Kind an neuer Schule tatsächlich auch persönlich erschienen ist, fertig.

Im Idealfall nimmst du schon im Vorfeld Kontakt mit der neuen Schule auf und berichtest von Umzugsplänen, die ehem. Klassenlehrerin informierst du ebenfalls, alles weitere regelt das Sekretariat.