Der einfachste Weg wäre gewesen...

...damals, als die Mutter das Kind bei euch 3 Monate geparkt hatte, direkt über das JA gehen: In einem Zug: Halbes Sorgerecht beantragen und dann gleich mal mitteilen, dass das Kind bei euch bleibt. Bei einem so kleinen Kind sind 3 Monate eine lange Zeit. Da hätte man schön argumentieren können, dass es mittlerweile zu euch einen guten Bezug aufgebaut hat, dass es in euren Familienalltag eingebettet ist und jetzt eigentlich kein Anlass besteht, das Kind aus der neuen Umgebung heraus zu reisen.
Zeig mir das JA, dass unter diesen Umständen (Mutter von Kleinkind und Harz-V-Empfängerin parkt es wg. Urlaub 3 Monate beim Vater ein) das Kind einfach mir-nichts-dir-nichts wieder zur Mutter geschickt hätte...

Tja, nun...aber dafür muss man eben auch Mumm in der Hose haben und nicht sagen "buäh, wir haben kein Geld, dann bleibt das Kind halt bei der Mutter"