Bald 4 jähriger hat Probleme im Kindergarten

Sehr eigenartige Zustände da - kein Vertrag, Erzieher mit komischen Ansichten und die Eltern und Kinder sollen Personalmangel ausbaden.

Selbstverständlich kannst du nichts dagegen tun, wenn dein Kind sich in der Einrichtung nicht an dortige Regeln hält, dafür sind doch die Erzieher da! Das ist schlicht deren Job und ich finde es unglaublich, dass sie Kinder abschieben wollen, die nicht "funktionieren".

Wenn Personalmangel herrscht, dann ist es ebenfalls nicht Aufgabe der Eltern, diesen durch Beantragung von Integrativkräften aufzufangen. Es ist Aufgabe des Trägers, entsprechende Vorgaben einzuhalten.

Dass ihr keinen Vertrag habt, kommt mir aber komisch vor, auf welcher Grundlage wird er denn da betreut?

Ich würde mich mit anderen Eltern austauschen, Kontakt zur Leitung und ggf. zum Träger suchen.
Wenn der Kinderarzt nämlich keinen Handlungsbedarf sieht, wird es eh schwierig eine I-Kraft zu bekommen, vor allem, wenn das Verhalten erst seit kurzem auffällt.

Lass dich nicht unter Druck setzen! Sage, dass von ärztlicher Seite nichts vorliegt und du daher gewünschte Kraft eh nicht beantragen kannst.