Arbeitgeber...bin so enttäuscht und sauer...

Wenn allgemein bekannt ist, oder es im Arbeitsvertrag oder in der Betriebsvereinbarung steht, dass das Schreiben privater Emailadresse zu unterlassen ist, dann ist die mündliche Ermahnung verständlich.
Hier geht es aber u.a darum das der Chef ohne das Wissen der Posterin auf ihren emailaccount zugegriffen hat. Das ist nicht per se zulässig.