Ich mach mir einfach nur Sorgen :(

Ich verstehe nicht ganz, warum du dich bei der KiÄ abwimmeln läßt. Sie soll ganz klar sagen, warum sie deiner Tochter die nötige Behandlung nicht zukommen lassen will.
Erläre, daß du mit deiner Tochter dringend ins SPZ möchtest und dafür die Überweisung benötigst. Eine vernünftige Begründung dagegen scheint es ja nicht zu geben, sonst soll sie sie nennen und sich im Zweifel der Krankenkasse gegenüber erklären müssen.

Auf den HNO ausweichen würde ich nicht. Deine Tochter braucht ja nicht den HNO, sondern eine Überweisung. Da hat die Kinderärztin im Sinne ihrer Patientin zu handeln.
Setz dich durch, schließlich geht es um deine Tochter.