Das habe ich im Netz gefunden:

Quelle: www.elternzeit.de

"Einer Kündigung von Seiten des Arbeitnehmers steht hingegen auch während der Elternzeit nichts im Weg. Der Arbeitnehmer kann jederzeit zum Ende der Elternzeit kündigen. Dabei sollte mindestens eine Dreimonatsfrist bis zum Ende der Elternzeit eingehalten werden. Eine Angabe von Gründen ist nicht erforderlich. Eine Kündigung bedarf nicht zwingend der Schriftform, sondern kann auch mündlich ausgesprochen werden. Zur Sicherheit sollte dennoch eine schriftliche Kündigung vorgezogen werden.

Möchte ein Arbeitnehmer früher aus dem Betrieb ausscheiden, also vor dem Ablauf der Elternzeit, ist dies nur durch eine einvernehmliche Vereinbarung zwischen Arbeitnehmer und Arbeitgeber möglich. In diesem Fall müssen keine Kündigungsfristen eingehalten werden. Eine Kündigung vor dem Ablauf der Elternzeit kann dann gegeben sein, wenn der Arbeitnehmer eine Beschäftigung in einem anderen Betrieb anstrebt, die bereits während der verbleibenden Elternzeit beginnen soll.

Kündigt ein Arbeitnehmer von sich aus ein Arbeitsverhältnis, steht ihm normalerweise innerhalb einer Sperrfrist von drei Monaten kein Arbeitslosengeld zu. Diese Sperrfrist entfällt jedoch, falls der Betrieb keine Arbeitszeiten bietet, die sich mit der Betreuung des Kindes vereinbaren lassen. "