verstehe die Mutter meines Kindes nicht

Ich denke, das ist wie mit den Omas. Das Kind hat irgendwann eine Bezeichnung, einen Namenszusatz für eine der Omas gefunden und seither ist es so, eine Oma heißt Oma-Wohnort.
Mein Sohn hat beide Omas gleich lieb.

Ich würde cool bleiben, nur weil nominell ein zweiter Papa da ist, wird dir das Kind nicht entfremdet oder hat dich weniger lieb.

Dann bist du halt Papa Paul und der neue Partner, der ja auch Verantwortung für dein Kind übernommen hat ist Papa Thomas.