Unterstützung

Noch mal kurz zur Info: Eine Trennung bedeutet nicht automatisch, dass irgendein Amt einspringt und eine Wohnung finanziert.
In erster Linie musst du selbst für dich und dein Kind sorgen, mit der Unterstützung deines dann Ex-Partners.
Dein Ex muss für den Unterhalt eures Kindes aufkommen. Wie alt ist das Kind? Hast du ein Einkommen? Seid ihr verheiratet? Ggf. hast du Anspruch auf (1 Jahr bzw. bis zur Scheidung) Trennungsunterhalt von deinem Partner. Allerdings hat er einen Selbstbehalt.
In jedem Fall solltest du dich möglichst schnell finanziell auf eigene Beine stellen, denn diverse Ämter werden dich auch dazu auffordern. Sozialleistungen sind für den Notfall gedacht und können bei der Überbrückung oder in schwierigen beruflichen oder privaten Situationen gut helfen. Man kann sie nicht nach Lust und Laune beantragen, weil man gern eine neue Wohnung hätte.
Am besten lässt du dich einfach mal vor Ort beraten, z.B. bei einer sozialen Beratungsstelle, Familienberatungsstelle etc. Dann hast du auch einen guten Überblick darüber, ob du berechtigt bist, Leistungen zu beziehen und wie dann die Rahmenbedingungen aussehen, z.B. Größe der Wohnung, Miethöhe etc.

Wenn ihr das gemeinsame Sorgerecht habt, kannst du übrigens gar nicht einfach so mit deiner Tochter ausziehen. Du selbst schon, aber ob deine Tochter mitgehen darf, müsste dein Partner erstmal erlauben. Wenn ihr kein gemeinsames Sorgerecht haben solltet, wäre es für ihn möglich, es relativ leicht zu beantragen und dann deiner Tochter den Umzug zu untersagen. In dem Fall würde ein Gericht entscheiden. In den meisten fällen werden sich Eltern aber auch ohne diese Dinge einig.

Viel Erfolg und alles Gute, terkey