Frisch alleinerziehend... Wie ist das denn jetzt?

Fordere sofort von ihm (schriftlich) seinen Teil der Miete ein. Solange er noch dort wohnt muss er sich auch an den laufenden Kosten beteiligen, ganz egal wie oft zuhause ist. Alternative ist: er zieht zu seinen Eltern.
Wenn Du es Dir leisten kannst, würde ich definitiv hier zu einem Anwalt raten, der dann das Geld für Dich eintreibt. Immerhin geht es um Januar und Februar. Da kommt schon was zusammen. Gerade wenn er ggf. auch im März noch dort wohnt.

Unterhalt kannst du schon einfordern, denn er beteiligt sich ja nicht mehr an den Kosten für das Kind. Eine Trennung der Finanzen hat ja schon stattgefunden. Hier kannst Du Dich schon jetzt an das JA wenden. Die berechnen den Unterhalt und fordern diesen auch für Dich ein.
Das Jugendamt hilft Dir/euch auch eine Regelung für den Umgang zu finden. Dann kommt auch euer Kind wieder zu seinem Recht.

Dem Kopieren der Unterlagen möchte ich mich anschließen. Heute ist das ja über eine Scan-App am Handy schnell gemacht. Aber so sicherst Du Unterlagen die dann nicht mehr mühsam und Zeitraubend eingefordert werden müssen.

Solltet ihr über gemeinsame Konten verfügen, solltest du Dich auf jeden Fall um die Sicherung des Guthabens (zumindest Deines Anteils) kümmern. Bei Versicherungen die gemeinsam laufen solltet ihr auf jeden Fall klären wer diese behält und diese dann ggf. umschreiben lassen.