Begleiteter Umgang mit dem Vater/wer hat es durch?

Was ist denn deine Ausgangslage? Würdest du stattdessen unbetreuten Umgang anbieten? Oder durch dich betreuten? Und hast du irgendwas schriftlich?
Ich frage wegen dem Familiengericht, da du ja vermeiden willst, dass es darüber geht, sonst könnte er einfach behaupten du stellst dich generell gegen Umgang und dann er das auch direkt über's Gericht machen. Aber dafür muss es schon einen Streitpunkt geben.

Wenn er BU will, muss er den also beim JA beantragen (so wie es ja auch schon gesagt wurde), denn das Ding müsste ja auch finanziert werden. Wenn du allerdings gegen den BU bist und normalen Umgang willst und das JA seine Begründung nicht als ausreichend ansieht, können die auch ablehnen, und DANN müsste er vor Gericht, um das durchzusetzen (mit einer Behauptung als (schwache) Begründung wird das aber schwierig).

Alles in allem ist das eine merkwürdige Konstellation, auch die Begründung ist schräg, denn wenn du den Kleinen gegen ihn anstacheln würdest, würde auch der BU nichts nützen, immerhin wohnt das Kind bei dir.

Und wegen dem Ort, da wird eine Betreuungsstelle in der Nähe des Wohnortes des Kindes ausgesucht bzw. wenn vorhanden, werden mehrere Stellen kontaktiert und je nachdem, wo es terminlich reinpasst, werdet Ihr dann dort angemeldet (die können übrigens auch ablehnen; hat bei uns eine Stelle gemacht, die wollten mit dem KV nicht arbeiten).